Для определения времени пребывания заявки в системе необходимо определить ФР этого параметра.

Рассмотрим ФР суммы двух независимых случайных величин Y =X ₁+X ₂:

В силу независимости x ₁ и x ₂ получаем:

Плотность распределения имеет вид:

Этот функционал называется свертков двух функций. Аналогично можно показать, что функция плотности вероятностей суммы n независимых случайных величин равна свертке их функций плотности:

Рассмотрим СМО М/M /1 с обслуживанием в порядке поступления. Время пребывания заявки в системе есть сумма двух независимых случайных величин: времени ожидания и времени обслуживания. Если в момент поступления заявка застала в системе К требований, время ожидания будет равно сумме К времен обслуживания (они являются независимыми случайными величинами). ФР времени обслуживания заявки, находящейся на обслуживании, такое же, как и для ожидающей заявки в силу марковости процесса обслуживания.

В результате получим плотность распределения времени пребывания в системе: